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糜克定与朋友们一道讨论科学人生

 
 
 

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关于我

糜克定: 退休物理教师,原江苏省电教研究会理事、中国物理学会会员、连云港市电化教育馆馆长,曾编导、监制《中学教师语言修养与训练》等52小时电视教材在中国教育电视台卫星播出。撰稿与编导10小时的电视教材《小学数学新课导入》选为联合国儿童基金会远程教育项目教材。退休后,又有编制《小学科学助教助学》、《体育与健康》、《伟大祖国》等近260G的结构性网络资源及网络“超媒体”教材等成果。 自办公益网站:《糜克定》的科学园》 http://mkd.lyge.cn/

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悖论与悖论思维  

2014-11-20 16:06:31|  分类: 科学与人文 |  标签: |举报 |字号 订阅

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悖论与悖论思维

【 作 者 】吴哲辉
【作者简介】吴哲辉,山东科技大学信息科学与工程学院,山东 泰安 271019
吴哲辉(1941—),男,广东连州市人,教授,博士生导师。主要研究方向为计算机科学理论,对科学思想方法也有研究兴趣。
【内容提要】悖论思想是一种探索性的辩证思维。本文阐述了对悖论和悖论思维的认识和理解,并通过数学和物理学发展史上的一些典型事例讨论了悖论思维在科学发展中的作用。

1.什么是悖论
“悖论”一词,源于希腊文,意为“无路可走”,转义是“四处碰壁,无法解决问题”。[1][2][3] 但是希腊文的这个词义并不能包含“悖论”的全部含义。人们对悖论的认识经历了一个漫长的历史过程,对它的表述多种多样。作者是这样理解的,所谓悖论实际上是逻辑矛盾,它是这样一种命题:设该命题为真,则可推导出它为假;反之,设该命题为假,则又推得它为真。为了对悖论有一个初步了解,我们先举两个简单的例子,或者说,讲两个小故事。
一个是所谓“理发师悖论”[2][4]:西班牙塞维尔村有一位理发师,为了整顿村里的理发秩序,他向全村宣布,凡是自己不给自己刮胡子的人,都由他来刮,而且他只给那些自己不刮胡子的人刮胡子。这样,别人就问他:他自己的胡子由谁来刮?这就难倒了他。试想如果他自己刮,那么就违反了他只给那些自己不刮胡子的人刮胡子的声明,如果他找别人刮,又违反了凡是不自己刮胡子的人都由他来刮的承诺。这就产生了一个悖论。
另一个例子是大家熟悉的。说有一人既卖矛又卖盾的人,在集上大声吆喝推销他的矛和盾。一会儿说他的矛是最锋利的,不论什么样的盾都能击破;一会儿又说他的盾是很坚固的,无论什么样的矛也击不破。一个围观的人就问他:“那么,用你的矛击你的盾,结果怎样?”显然,这又是一个悖论。
通过这两个例子,我们可以初步这样归纳,所谓悖论就是在一个不正确的假设前提下,提出的一个两难问题。如果对象这个问题回答“是”,就会逻辑推导出“非”,如果回答“非”,又会逻辑推导出的“是”。
2.什么是悖论思维
所谓悖论思维,就是对一个概念、一个假设或一种学说,积极主动从正反两方面的进行思考,以求找出其中的悖论。所以有人(美国精神病学与行为科学教授卢森堡)把悖论思维称为“两面神思维”。[2] 我们还是从一个小故事讲起。
古希腊有许多“辩士”、“辩师”,他们当中不少是哲学家、思想家,当然也不乏诡辩家。其中有一个辩士,由于好发表揭露王家弊端的言论,惹恼了国王,国王要处死他。古希腊有两种死刑,一种是火刑,这种刑是很残酷的,受刑人痛苦的时间长,而且死无完尸;另一种是绞刑,这种刑可以让死者有一个完整的尸体。古希腊的这个国王在凶残地处死反对自己的辩士时,还想在国民中显示自己的“大慈大悲”。他把全城的百姓召集起来观看他将这个辩士处死。当着围观百姓的面,国王对辩士说:“XX辩士,你专说假话,造谣惑众,敌视王朝,罪该处死。不过本国王一向慈悲为怀。临死之前,我还给你一次选择的机会。那就是让你说一句话,如果说的是真话,就对你施以绞刑,让你有一具完尸。如果你临死前还说假话,那就不要怪我,只好对你施以火刑了。”接着,国王对围视的百姓大声说:“以上是我的承诺,绝不食言,全城百姓可以作证。”
国王说完后,全场鸦雀无声。辩士思考了一会,说出一句话,使得国王和他的谋士左右为难,尴尬不堪。既不能对此辩士处以火刑,也不能处以绞刑。大家想想,辩士说的那句话是什么呢?
辩士说的那句话是:“国王一定会用火刑处死我”。这句话真有那么大的作用吗?试想,如果国王用火刑,那么辩士说的那句话就是真话,可是国王承诺过,如果他说的真话,就要对他施以绞刑。如果国王对辩士施以绞刑,行不行呢?这样辩士说的是假话,可是既然是假话,接国王的承诺就应对他施以火刑。所以,既无法对他施以绞刑,也无法对他施以火刑。竟无法处死这个辩士。
辩士之所以能说出那么一句使国王左右为难的话,就是因为他开展了积极的悖论思维,找出了一个“两难问题”。其实,前面讲的那个给既卖矛又卖盾的人提出“用你自己的矛击你的盾,结果怎样?”的问题的观众,也是开展了悖论思维以后,才能提得出这样的问题的。
以上说的都是一些故事,下面讲一些真实的历史。
古希腊哲学家芝诺(Zeno)在公元前450年就提出过多许多悖论,其中最著名的四个称为芝诺四大悖论:二分说悖论、阿基里斯与乌龟赛跑悖论、飞箭悖论、运动场悖论。[1][2][3]
下面把阿基里斯与乌龟赛跑悖论的内容说一下。阿基里斯是《荷马史诗》中一个跑得很快的英雄。芝诺提出假设,阿基里斯与乌龟赛跑,如果让乌龟在阿基里斯前面100米,那么,阿基里斯永远追不上乌龟。芝诺的“论证”是这样的,假设阿基里斯速度是乌龟的10倍,那么当阿基里斯跑完100米的时候,乌龟已出去10米,等阿基里斯跑完这10米,乌龟又已出去1米,当阿基里斯跑完这1米,乌龟又跑出去0.1米, ……这样一直下去,虽然距离越来越近,但乌龟它总是在阿基里斯的前面。
从经验上我们知道,说阿基里斯永远追不上乌龟,当然是不对的。芝诺本人也不会否认这个事实。他之所以提出这个悖论,是对无限过程提出思索。因为阿基里斯同乌龟的距离可以用这样的一个无限序列表示:
1
100米,10米,1米,──米,1/100米……
10

按当时古希腊人的理解,一个无限过程是永远无法完成的。这就使“逻辑思维”与经验事实之间出现了两个完全不同的结果,构成悖论。可以说,芝诺的这个悖论思维超前的。这个问题在2000多年以后出现的极限理论或无穷级数求和的计算才可以给出完满的回答。
中国古代哲学家惠施(公无前370年——前310年)也提出过类似的悖论。有些在《庄子》一书的“天下篇”中有记载。如惠施的“飞鸟悖论”这样说:“飞鸟之景,未尝动也”,这同芝诺的“飞箭悖论”如出一辙。而惠施的另一句名言:“一尺之捶,日取其半,万世不竭”。同芝诺的二分悖论也很相像。
通过上面的例子我们知道,悖论思维在古代就普遍存在。同时也可以看出悖论思维是一种积极的探索思维。它也有很浓的哲学色彩,是一种辩证思维。
在这里我们提出这样的一个问题,如果在科学发展过程中,对科学概念和一些学说开展悖论思维,情况会怎么样呢?其实科学发展史上就存在着大量的这方面的例子。
二、科学发展史上的悖论思维
1.数学史上的三次危机[4][5][6][7]
数学发展史上有过三次“危机”,这三次危机的出现都同悖论思维有着密切的联系,而这三次危机的克服又使数学学科有了飞跃性的发展。
第一次数学危机出现在古希腊的毕达哥拉斯学派。大家知道,毕达哥拉斯是一位数学家,我们通常说的勾股定理在西方称为“毕达哥拉斯定理”,这条定理论述了直角三角形三条边之间的关系:两条直角边的平方和等于斜边的平方。毕达哥拉斯又是一个哲学家,在唯物论与唯心论的论争中,他提出了另一种观念:“唯数论”。他的论点是“万物皆数”。譬如,一个物体,它的体积是个“数,它的质量也是个“数”,一条线,它的长度是“数”,一个多边形,它的周长和面积也是“数”,等等。可是古希腊时人们对数的概念的认识只限制在有理数的范围。也就是说,那时候的所谓数,只有整数以及可以表示成两个整数之比的分数。毕达哥拉斯学派中有一个成员,或者说毕达哥拉斯的一个学生,叫希帕索斯(Hippasus)。他运用毕达哥拉斯定理, 通过思索发现:边长为 1的正方形的对角线的长度竟然不是一个“数”(我们知道:长度等于
附图{图}
。这一下可了不得,这等于给“万物皆数”的哲学观点捅了一个窟窿。毕达哥拉斯学派对希帕索斯进行了声讨,有的说把他扔到海里淹死了,还有一种说法是把他开除了。不管是哪一种说法,希帕索斯都被毕达哥拉斯学派视为叛徒。
其实希帕索斯提出的与“万物皆数”的论点相悖的例子(我们把它称作希帕索斯悖论),恰好暴露了有理数概念的狭小,为人们对无理数的认识和实数概念的形成吹响了第一声号角。他的这种悖论思维实际上是数学思想方法上的第一次革命。
第二次数学危机出现在十八世纪。由于工业和航海业发展的需要,人们从研究常量数学发展到研究变量数学,牛顿和莱布尼兹创立了微积分。微积分在解决常量数学所不能解决的一些问题中发挥了很有效的作用,使得很多人都对微积分方法持肯定的态度。但是微积分创立初期是不够严格的,其核心问题是对无穷小量的处理。在牛顿的微积分方法中,有时把无穷小量看作是“0”舍弃掉, 有时又让无穷小量出现在一个分式的分母中。这种处理方法招来了唯心主义哲学家、爱尔兰大主教贝克莱的猛烈攻击(因为在常量数学中,0是不能作分母的)。 说牛顿的无穷小量“只不过是消失了的量的鬼魂”。数学史上把“无穷小”概念上的混乱称为“无穷小悖论”,并把这一事件看作是数学史的第二次危机。
尽管贝克莱主教攻击无穷小量的目的是想扼杀微积分这种新的数学方法,为其宗教神学辩护。但“无穷小悖论”作为一种思想方法,对数学的发展还是起到了推动作用。到十九世纪上半叶,哥西等人创立了极限理论,从而圆满地解决了“无穷小悖论”,克服了第二次数学危机。顺便说一句,我们前面提到的“阿基里斯与乌龟赛跑”的芝诺悖论,这时也可以得到完满的解答。
第三次数学危机发生在十九世纪末二十世纪初。引起这次危机的是著名的“罗素悖论”。同前两次危机比较起来,第三次数学危机要深刻得多,影响面也要大得多。
自从哥西等人创立了极限理论,圆满地解决了微积分中的“无穷小悖论”以来,以微积分作为基础的数学学科得到了蓬勃发展,产生了许多新的数学学科分支,如常微分方程、偏微分方程、复变函数等等。形成了一个高耸入云的数学大厦。另一方面,又有魏尔斯特拉斯、皮亚诺、康德、狄德金等一批数学家在数学基础方面做了大量出色的工作,使得这个数学大厦建立在集合论的基础上。这时候,大家都相信近代数学的基础是十分牢固的了。在1990年举行的巴黎数学家大会上,当时数学界的领袖人物之一庞加勒心满意足地宣布:“现在我们可以说,数学的绝对严密性已经达到了”。
然而,这位数学权威的话音刚落,就爆发了极为深刻的、震撼整个数学大厦的第三次数学危机。1901年,英国数学家、哲学家罗素发现了集合论中的一个悖论,后来人们称之为“罗素悖论”。
当时的集合论(朴素集合论)对集合是没有给出确切定义的,只说集合是由元素组成,一个集合的元素可以是任意什么,一个集合也可以以它自身为元素。这样罗素提出:把所有的集合分为两类,一类是不以它自身为元素的集合,另一类是以自身为元素的集合,把前类记为M,即
附图{图}
罗素悖论像一个颗重磅炸弹,使人们从美梦中惊醒,引起了数学界的极大恐慌。有一位叫弗雷格的数学家,一直主张用集合论作为数学的“永恒的、可靠的基础”。他写了一本书,叫《算术的基本法则》,当他把书稿送去出版社付印后,收到罗素的信,信中阐述了那个悖论。弗雷格看完信后,又到出版社在书稿末尾补写了一句话:“一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了,即在工作完成之际,它的基础跨掉了。当本书等待付印之际,罗素先生的一封信把我置于这样的境地。”[4] 另一位数学家狄德金也是这样,他写的书《连续性与无理数》的第三版本已送出版社付印,他一知道罗素悖论之后,赶快把书稿抽回来重新审查。还有一位荷兰的著名数家布劳威尔,在知道罗素悖论以后,宣布自己过去对数学的研究成果全是“废话”。[4]
由“罗素悖论”引起的第三次数学危机,导致了关于数学基础问题的一场大论战,这场论战持续了30年,出现了关于数学基础的三大哲学流派,[4]也大大地推动了数学学科的发展。 其中产生的“公理集合论”,克服了朴素集合论中的“罗素悖论”等缺陷。
2.物理学发展中的悖论思维
物理学发展过程中,悖论思维也起过很重要的作用。从牛顿力学到狭义相对论,从狭义相对论到广义相对论,都发端于悖论思维。[2][3]
爱因斯坦从牛顿力学和麦克斯韦电磁理论的基本概念中提出了“光速悖论”,是他创立狭义相对论的逻辑出发点。爱因斯坦在《自述》中这样说:“经过十年沉思以后,我从一个悖论得到了这样一个原理(指狭义相对论)。这个悖论我在16岁时就已经无意中想到了:如果我们以光速(真空中的光速)追随一条光线运动,那么我们就应当看到,这样一条光线就好象在一个空间里振荡着而停滞不前的电磁场。可是无论是依据经验,还是按照麦克斯韦方程,看来都不会有这样的事实”。[2]
爱因斯坦这段话的意思是,他设想一个人以光速的速度追赶一条光线,那么根据牛顿力学原理,这个人会看到一种现象,但根据麦克斯韦方程,又不应该出现这种现象。这就产生了悖论。也就是说,牛顿力学与麦克斯韦电磁场理论中存在不相容之处,这种不相容只有当运动速度达到或接近光速时才能显露出来。以当时社会的科技水平,要想靠实验来发现这种不相容是不可能的。爱因斯坦是靠悖论思维这样一种逻辑思维方式创立狭义相对论学说的。这也可能是当时很少人能理解狭义相对论的主要原因。
从狭义相对论发展到广义相对论,是借助一个叫“双生子悖论”的悖论思维开始的。[2][3]根据狭义相对论,两个事件之间的时间间隔不是绝对的,时间的长短随着运动状态的变化而改变。任何观察者都会观察到:相对于他做匀速运动的所有过程,都会比相对于他静止的同样过程进行得慢一些,这就是所谓“时间迟缓”效应。爱因斯坦设想,有一对双胞胎甲和乙,甲来坐宇宙飞船以接近光速作宇宙飞行,当他返回地面同乙会面时,甲就会显得比乙年轻。但是,由于运动是相对的,以宇宙飞船为参照系,甲可以认为自己是静止的而乙相对于宇宙飞船来说是在运动,从而又推出乙显得比甲年轻。这就出现了悖论。这个悖论就是从狭义相对论发展到广义相对论的思索的出发点。
还有,现代宇宙学中一种最流行的理论——大爆炸宇宙论,也是以“质量悖论”为契机,探讨天体系统膨胀的现象而得到的。[2] “质量悖论”的内容是这样的:如果我们假设宇宙中的星系团是稳定的,那么就可以估计出组成星系团的各星系的质量,以此为前提计算出各星系的动力学质量,其结果同以星系团的光速来计算出的星系团的质量的结果不相符,前者比后者大几十倍,甚至几百倍。如果假设星系团不是处于稳定状态,而是一个不断膨胀的系统,那么上面所说的矛盾就可以消除。既然宇宙是在不断膨胀,那么开始时就缩成一团,通过大爆炸开始向各个方向散开。这就形成了宇宙起源于大爆炸这种学说的逻辑起点。由于1929年,哈勃通过望远镜观察到许多星系正在不断远离我们而去,从一个方面证实了宇宙在不断膨胀的设想,所以大爆炸宇宙论的学说较普遍的被接受。
科学发展中的悖论思维的例子还可以举出许多。通过上面的几个例子,已经能充实反映悖论思维在科学发展中的作用。
三、对科学研究中的悖论思维的进一步认识
悖论思维作为一种科学思想方法是开展科学研究的重要思想方法之一,下面我们对科学研究中的悖论思想方法的一些规律性的东西作一下归纳。
1.悖论思维是一种积极的探索性思维。遵循这条思路追索下去可以揭示一个概念、一种学说中存在的深刻的内在矛盾性。
悖论思维可归入逆向思维的范畴,但悖论思维比一般的逆向思维更尖锐。例如关于无理数的发现,用一般的逆向思维也是可能做到的。按一般的逆向思维可以这样想:凡有理数的平方都是有理数,那么是不是每个有理数都是另一个有理数的平方呢?这样一个问题,可能使我们发
─现2不是某有理数的平方,从而找到一个无理数√2 。 这种思维方式无疑也是科学的、成功的。但同希帕索斯从毕达哥拉斯的两个重要学术观点(一个是“万物皆数”的哲学观点,一个是直角三角形三条边之间的关系的数学定理)中发现了内在矛盾性比起来,后者显得更深刻,更尖锐,更让人坐卧不安,难以忘怀。
2.一个概念、一种学说中存在悖论,一般并不意味着这个概念、这种学说是完全错误的,而往往是反映了它们的不完整性,应用范围的限定性,应用的有条件性。在有关概念得到拓展、有关学说进一步完善以后,悖论便可以消除。
譬如,希帕索斯悖论说明了原来关于数的概念的不足,把数的概念从有理数扩展到实数,在建立实数理论后就可以消除。“无穷小悖论”表明了微积分学在创建初期的不严格(而不是完全错误),在建立极限理论后就可以消除。朴素集合论中出现了罗素悖论,并不能说明集合论和以集合论为基础的数学理论“全是废话”,只能说明朴素集合论还不够严密,发展到公理集合论以后,罗素悖论就可以消除。历史上三次数学危机之所以引起那么大的恐慌,其原因在于那时的数学家对悖论的特征、性质和科学发展的规律还没有正确的认识。
同样,爱因斯坦想到了“光速悖论”,从而创立相对论,也并不说明牛顿力学是完全错误的,而只是当运动速度达到或接近光速时,牛顿力学定律才不适用。即使在科技高度发展的今天,我们生活中,科学技术中的大量问题,还是符合牛顿力学理论的,还得用牛顿三大定律来解释、来计算。
3.“悖论”的发现和提出,仅仅是开始。它只不过是暴露了旧的原有的概念或学说中存在的问题。新的概念、新的学说的建立,还有待通过大量的研究,通过艰辛的劳动。
还是以前面提到的几个悖论为例子,古希腊时,“希帕索斯悖论”就发现了有理数概念的局限性,但完整的实数理论的建立,已经是十九世纪的事了。前后经过2000多年。为什么要那么长的时间呢?因为希帕索斯悖论只指出
附图{图}
……这样的无理数,甚至可以进一步通过解代数方程求出许多无理数,但还不可能包括全部无理数。还有一些象π、e这样的无理数, 是不能通过解有理系数方程求出的(这些称为超越数)。完整的实数系统,只有用狄德金分割才能描述清楚。
贝克莱主教提出的“无穷小悖论”,其目的在于攻击和扼杀微积分。他本人当然不会去完善微积分的理论。但当时对贝克莱的用心持否定态度的数学家也不少,他们也没有拿出有效的方法来消除无穷小悖论。直至十九世纪二十年代,系统的极限理论创立,才消除了“无穷小悖论”。这已经是贝克莱提出这个悖论90多年以后的事了。
同样,罗素在1901年针对朴素集合论提出了“罗素悖论”,引起了数学界的极大恐慌。从1908年开始,数学家策梅罗就想着手消除这个悖论,中间经过包括冯·诺伊曼在内的多位著名数学家的努力,直到1958年,才由贝奈斯完成《公理集合论》这门新学科的建设。[4][5]
相比较起来,从“光速悖论”的发现到狭义相对论的提出,都由爱因斯坦一个人完成,这是他的伟大和超常之处。然而,正如爱因斯坦本人在《自述》中指出,他也“经过十年沉思”。
4.“悖论思维”作为一种思想方法,对推动科学研究是永远有意义的。不论科学发展到什么程度,在一些概念或学说中存在悖论,是不可避免的。
        我们做出上述结论的依据之一,是哥德尔不完备性定理。哥德尔不完备性定理是数学家哥德尔在研究希尔伯特纲领时得到的一个相反结论。[8]希尔伯特是20世纪上半叶全世界的领头数学家,在1900 年的巴黎数学家大会上,他提出了世纪之交的23个数学问题,其中第2 个问题就是后来被人们称之为“希尔伯特纲领”的最初提法,希尔伯特本人为这个纲领钻研了30年,一直到他退休。这个纲领的大体意思是:建立一个形式系统,这个形式系统是协调的,不存在内在的矛盾性;这个形式系统又是完备的,任何命题,只要是正确的,都可以从这个形式系统逻辑地推导出来。哥德尔听过希尔伯特的演说,读过希尔伯特的文章,被希尔伯特的宏大计划所吸引,也想参加这个纲领的建设。但通过一番研究,他发现希尔伯特纲领是不可能实现的。他证明了一个相反的结论:“一个理论系统,如果是没有内在矛盾的,那么它必然是不完备的,一定存在着本系统不能解决的问题”。[8]这就是哥德尔不完备性定理。
哥德尔不完备性定理揭示了理论体系的不完备性,这就是悖论思维从旧理论体系到新理论体系飞跃的逻辑原理。另一方面,虽然新的理论体系的产生克服了旧理论体系的悖论,但它自身又不是完备的,还存在着一些自身不能解决的问题,这些问题又将引向它的变革。这是悖论思维在科学发展中总是有效的逻辑依据。
我们作出上述结论的另一个依据,是马克思主义的认识论。按照马克思主义的观点,人的认识能力是无限的,同时又是有限的。人类是可以认识自然、认识宇宙的,这种认识要靠整个人类世世代代的不断实践来完成。对于每个具体的人,每个特定的时候,这种认识又是相对的。不管到什么时候,都还会有未知的问题需要人们继续深入去探索。[9]
认识这一点特别重要。有了这样认识,当我们从事科学研究的时候,如果发现一个理论体系是不完备的(或者存在悖论,或者找出这个理论体系不能解决的问题),我们不必惊慌,也不用急急匆匆地着手于去推翻那些已被实践证明在一定范围内有效的理论体系。我们需要做的是对原有的理论体系进行拓展,建立一个范围更广的新的理论体系(以消除悖论或解释原有理论体系不能解释的问题)。
        认识这一点的意义还可以防止上当受骗。李洪志就是利用这一点来蒙骗那些法轮功练习者的。他说什么“现在的科学不算科学。……因为用这个科学这条路,永远也探测不到宇宙的奥妙”。而他的“法轮大法”是“最玄奥、超常的科学”“一切奥妙的洞见,无所不包,无所遗漏”。对于李洪志的这一套歪理,其实恩格斯在《反杜林论》这本书中对杜林的所谓的“终极真理”,早已进行了深刻的批判。[9] 如果我们懂一点辩证唯物论主义认识论,如果我们知道哥德尔不完备性定理,也就不会上李洪志的当了。
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